1灯具光学参数

配光模型

总光通量 Φ lm

中心光强 I₀ cd留空 = 自动推导

光束角 2θ½ °半光强全角

等价半角 θ½ = 19.0°。数据手册若标的是半角（如 19°、12°），请先乘以 2 再填入上面。

2被照面几何

灯具到被照面的垂直距离 h m

被照面形状

圆形半径 R 矩形 L × W

被照面半径 R m= h·tan θ½ 自动

最大照度 E_max（正下方） — E = I₀ / h²

平均照度 E_avg — —

最小照度 E_min（边缘） — —

均匀度 U = E_min/E_avg — 面域均匀度

均匀度 U = E_min/E_max — 极值比

光通量利用率 — 落入被照面的 Φ / 总 Φ

3推导摘要

配光模型—

配光指数 n—

中心光强 I₀ cd—

I₀ 来源—

半光强全角 2θ½—

半光强锥立体角 Ω—

占全球面比例—

半光强光斑 R½—

10% 光斑 R₁₀—

等效总光通量 lm—

4照度—半径曲线

E(r) 严格式（含余弦） E_max E_min E_avg R½ R₁₀

5被照面照度分布（俯视伪彩）

颜色按 E/E_max 归一化后映射，暖色 = 照度高。虚线圆为半光强光斑边界 R½。

6径向剖面数据

r (m)	γ (°)	斜距 d (m)	I (cd)	E 严格 (lx)	E=I/d² (lx)	E/E_max

末行（高亮）为被照面最远点，即 E_min 所在。倒数第二列为忽略入射余弦的简化式 E = I/d²，它是严格式的 1/cos γ 倍（恒 ≥ 1，必然高估），可用于快速判断 "能不能省这一步"。

球冠 —— 被锥截出的球面面积 A 微圆环 —— 带宽 dα 的环带 dA 锥面线 —— 光源到球冠边缘的母线光轴

拖动画面可自由旋转视角；默认缓慢自转。把视角转到侧面，可以看到微圆环的半径就是 r·sinα（纬圆半径）、带宽是 r·dα —— 这就是 dA = 2πr²·sinα·dα 里每一项的几何来源。

Ω立体的立体角

Ω = ∫₀^θ 2π·sinα·dα = 2π(1 − cos θ)

半顶角 θ 19°

0.3423 sr

占全球面 4π (12.5664 sr) 的 2.72%

锥内光通量 Φ_cone lm

锥内平均光强 Φ/Ω cd —

全锥顶角 2θ 38.0°

微圆环极角 α = 微元的极角 θ

10.5°

环带带宽 dα = 微元的 dθ

3.0°

微元方位角 φ₀

0°

微元方位跨度 dφ

20°

dΩ微圆环的立体角

精确值 Ω(α+dα/2)−Ω(α−dα/2) —

近似 dΩ = 2π·sinα·dα —

近似偏差 —

当前 α / dα 19° / 6°

半径为 r 的球面上，极角 α 处的纬圆半径是 r·sinα、周长是 2πr·sinα；环带宽度是 r·dα。两者相乘得环带面积
dA = 2πr²·sinα·dα
立体角 dΩ = dA / r² = 2π·sinα·dα —— 半径 r 被约掉， 立体角只与角度有关。整个球冠积分即 Ω = 2π(1 − cosθ)。

把 dα 调大即可看到近似偏差如何上升：dα 需足够小，2π·sinα·dα 才等于精确差值。

§平面轴截面图（过光轴的截面）

球冠弧（±θ）微圆环轴截面（角宽 dα）纬圆半径 r·sinα 半径 r 光轴

拖动上方的 θ、α、dα 滑块，本图与三维视图同步变化。图上每一项都与推导式里的符号一一对应：绿线是纬圆半径 r·sinα，橙弧是带宽 r·dα，两者相乘再乘周长 2πr·sinα 即为环带面积 dA。
其中绿色虚线是纬圈在切面中的投影弦，完整长度 2r·sinα；它把左右两端的橙色小弧连了起来——那两段弧其实是同一个微圆环的两个截面。轴上那一点到圆周的右半段，就是这个纬圈的半径 r·sinα。

∫推导过程

立体角的定义

Ω = A / r² [sr]

球面上面积 A 对球心张成的立体角。它是面积与半径平方之比，无量纲。
在极角 α 处取环带微元

纬圆半径 = r·sinα = — r

纬圆周长 = 2πr·sinα = — r

环带的走向是"绕光轴一圈"，所以取一圈的周长。
环带的宽度（沿母线方向）

带宽 = r·dα 其中 dα = — rad

球面上沿大圆的弧长 = 半径 × 角宽。dα 取得越小，环带越窄、近似越准。
环带面积 = 周长 × 带宽

dA = 2πr·sinα · r·dα = 2πr²·sinα·dα

（取 r = 1 归一化）dA = —

2πr·sinα 是"圈长"，r·dα 是"圈宽"，相乘即这一圈的面积。
除以 r²，得到立体角微元

dΩ = dA / r² = 2π·sinα·dα

dΩ = — sr

r 被完全约掉 —— 立体角只由角度决定，与球半径无关。这正是它能描述"方向分布"的原因。
从 α = 0 积分到 α = θ

Ω = ∫₀^θ 2π·sinα dα = 2π·[−cosα]₀^θ

= 2π(1 − cosθ)

这一整步的几何含义：把所有"圈"从球冠顶点累加到边缘，就拼出了整个球冠。
代入当前 θ

Ω = 2π(1 − cos —°) = — sr

占全球面 4π = —

数值自检：差分精确值 —，微分近似 2π·sinα·dα = —，相对偏差 —。dα → 0 时偏差趋于 0。

dA球面微元方块（弯曲矩形，放大）

θ 方向边（沿经线）R·dθ φ 方向边（沿纬圈）R·sinθ·dφ

把球面上 (θ, φ) 附近的一个微元单独放大。注意两条边的弯曲程度不一样： θ 方向的边走的是半径 R 的大圆，几乎笔直；φ 方向的边走的是半径 R·sinθ 的纬圈，明显更弯。这条边长差就是 sinθ 因子的几何来源——离光轴越近，纬圈越小， φ 方向的边长越短，到极点归零。

∫∫推导过程 · 球面微元二重积分

记号说明：本页三维图与平面图把"微元所在极角"记作 α、把"锥的半顶角"记作 θ。下面沿用常见教材写法，把极角直接记作 θ、方位角记作 φ，积分上限即锥的半顶角。两种写法完全等价：α ↔ θ。

在球面上取一个"弯曲矩形"微元

过球心作两条经线（夹角 dφ）和两条纬线（夹角 dθ），它们在球面上围出一个小四边形。球面是弯的，所以四条边都是弧——这就是它叫"弯曲矩形"的原因。

沿 θ 方向边长 = R·dθ = —

沿 φ 方向边长 = R·sinθ·dφ = —
为什么 φ 方向的边长要乘 sinθ

φ 方向是"绕光轴转一圈"的方向，它走的那一圈是纬圈，而纬圈半径是 R·sinθ，不是 R。θ 越小（越靠近光轴）纬圈越小，边长越短；θ = 0 时纬圈缩成一个点，边长归零——所以极点附近没有面积。

纬圈半径 = R·sinθ = — R
微元面积 = 两条边长相乘

dA = (R·dθ)(R·sinθ·dφ) = R²·sinθ·dθ·dφ

（取 R = 1 归一化）dA = —
除以 R²，得立体角微元

dΩ = dA / R² = sinθ·dθ·dφ

dΩ = — sr

R² 被完全约掉，立体角元素里只剩纯角度量，与球的大小无关。
对整个球冠做二重积分

Ω = ∫₀^2π ∫₀^θₘ sinθ·dθ·dφ

θ 是极角（0 → 锥的半顶角 θₘ），φ 是方位角（0 → 2π，绕光轴整整一圈）。
先对 φ 积分

∫₀^2π dφ = 2π

Ω = 2π ∫₀^θₘ sinθ·dθ

这一步的几何含义就是把"弯曲矩形"沿 φ 方向首尾相接、拼成一整圈环带，于是二重积分退化成一重积分——这正是上面"环带积分"法的来历。两法同源。
再对 θ 积分

∫ sinθ·dθ = −cosθ

Ω = 2π·[−cosθ]₀^θₘ = 2π(1 − cos θₘ)

与环带法得到的结果完全一致——这是一次独立的交叉验证。
代入当前半顶角

θₘ = —°，cos θₘ = —

Ω = 2π(1 − —) = — sr

占全球面 4π = —

边界自检：θₘ = 90° → cos = 0 → Ω = 2π（半球）；θₘ = 180° → cos = −1 → Ω = 4π（整球）。与立体角的取值范围吻合。

数值自检 · 微分近似有多准：该微元的精确立体角有闭式解
Ω = Δφ · (cos θ₁ − cos θ₂) （θ₁、θ₂ 为微元的两个边界极角）
精确值 = — sr；微分近似 sinθ·dθ·dφ = — sr；相对偏差 —。
本工具把微元取在 θ 区间中点，因此微分近似是二阶精度：即使把 dθ 拉到 20°，偏差仍 < 1%。若把微元取在区间起点（不少资料的写法），精度退化成一阶——同一组参数下偏差会掉到 −10%（dθ = 8°）、甚至 −70%（θ 很小且 dθ 很大时）。把 dθ 滑块拉大即可亲眼看到偏差如何变化。

为什么方块法才是"最一般"的形式：圆环法暗含了一个前提——配光绕光轴旋转对称，所以才能先把 φ 积成 2π。一旦配光不是圆的（例如矩形配光的洗墙灯、方形泛光灯），光斑在 (θ, φ) 平面上不是一块"球冠"，而是任意形状的区域，圆环法直接失效；而方块法只需把二重积分的上下限换成该区域的边界即可：
Ω = ∬_区域 sinθ·dθ·dφ
本页的照度计算器目前只支持旋转对称配光（cosⁿ 模型），所以矩形配光灯具请勿直接套用——需要按上面这个二重积分另算。

1光强 · 光通量 · 立体角

三者是光度学的定义性关系，没有"推导"，只有定义：

立体角 Ω = A / r² 单位 sr（球面度）
光通量 Φ = ∫ I dΩ 单位 lm（流明）
光强 I = dΦ / dΩ 单位 cd = lm/sr

立体角是无量纲量的平方比，所以 1 sr 相当于"从球心看过去、面积等于半径平方的那块球面"。整球 = 4π ≈ 12.5664 sr，半球 = 2π ≈ 6.2832 sr。

圆锥（半顶角 θ）截出的球冠所张立体角：

Ω = ∫₀^θ 2π·sinα·dα = 2π(1 − cos θ)

推导：球面上极角 α 处的纬圆周长是 2πr·sinα，环带宽度是 r·dα，故环带面积 dA = 2πr²·sinα·dα；除以 r² 得 dΩ = 2π·sinα·dα，积分即得。 r 被完全约掉——这是立体角"只看方向、不看距离"的本质。

等价写法：球面微元（弯曲矩形）+ 二重积分

上面那种算法是"先对 φ 积分、把微元拼成一整圈环带"。也可以不拼，直接在球面上取一个二维微元算——这就是常见的教材写法，更基本也更直观：

在 (θ, φ) 处取微元：两条边分别是沿经线的一段弧与沿纬圈的一段弧

沿 θ 方向边长 = R·dθ （走半径 R 的大圆）
沿 φ 方向边长 = R·sinθ·dφ （走半径 R·sinθ 的纬圈）

dA = (R·dθ)(R·sinθ·dφ) = R²·sinθ·dθ·dφ
dΩ = dA / R² = sinθ·dθ·dφ （R² 约掉）

为什么 φ 方向要乘 sinθ：φ 方向是绕光轴转的方向，它走的圈是纬圈，而纬圈半径是 R·sinθ 而不是 R。θ → 0（靠近光轴极点）时纬圈缩成一点，该方向边长归零——所以极点附近没有贡献面积。

对球冠做二重积分（θ：0 → 半顶角 θₘ；φ：0 → 2π）：

Ω = ∫₀^2π ∫₀^θₘ sinθ·dθ·dφ
   = ∫₀^2π dφ · ∫₀^θₘ sinθ·dθ
   = 2π · [−cosθ]₀^θₘ
   = 2π(1 − cos θₘ)

先积 φ 得到 2π —— 这一步的几何含义就是"把弯曲矩形沿 φ 方向首尾相接拼成一整圈环带"，二重积分退化成一重积分。所以环带法与二重积分法同源，只是积分次序不同。本工具首页给出两条路径，可作为彼此的交叉验证。

记号提醒：立体角可视化页的 3D 图与平面轴截面图把"微元所在极角"记作 α、 "锥的半顶角"记作 θ；上面这套二重积分写法把极角直接记作 θ、方位角记作 φ、半顶角记作 θₘ。两者是同一个量的不同记号：α ↔ θ。

2半光强光束角 → 配光曲线指数

记号约定：γ 表示"光线与光轴的夹角"这个变量； θ½ 表示半光强半角——光强降到峰值 50% 处与光轴的夹角； 2θ½ 表示半光强全角——两个 50% 方向之间的夹角，也就是数据手册上写的"光束角"，它是 θ½ 的两倍。本工具按行业惯例直接接收全角 2θ½，内部除以 2 换算为 θ½ 参与计算。

用余弦幂模型逼近配光（LED 投光灯最常用的解析近似）：

I(γ) = I_max · cosⁿ γ
cosⁿ(θ½) = 0.5 ⟹ n = ln 0.5 / ln(cos θ½)

例：手册标"光束角 38°"实为全角 ⟹ θ½ = 19° ⟹ n = ln0.5 / ln(cos19°) = 12.3728 （cos^12.372819° = 0.500000，定义自洽）。 θ½ 越小，n 越大，配光越集中。

限制：cosⁿ 是单参数解析近似，只能保证在 θ½ 处准确降到 50%。真实灯具的配光曲线需查 IES / LDT 配光文件 或实测光强分布，本工具不替代配光文件。

3由总光通量求中心光强（关键一步）

cosⁿ 配光在半球内的积分闭式：

Φ = ∫₀^2π∫₀^π/2 I₀ cosⁿγ · sinγ dγ dφ = 2π·I₀ / (n + 1)

⟹ I₀ = Φ (n + 1) / (2π)

以 Φ = 9000 lm、θ½ = 19°（n = 12.3728，n+1 = 13.3728）代入： I₀ = 9000 × 13.3728 / 6.283185 ≈ 19 155 cd。

直谏：Φ/Ω ≠ 中心光强。 很多资料（含本工具参考的演示图）直接写 I = Φ/Ω，把总光通量除以半光强锥立体角 Ω = 0.34232 sr 得到 26 291 cd。这个数比真实峰值 19 155 cd 高 37.2%，因为它隐含了"全部光通量都落在半光强锥内"的假设——实际上 cosⁿ 配光只有 52.72% 的光通量在这个锥内，另外 47.28% 分布在锥外。 Φ/Ω 算出的是"假想均匀分布时的锥内平均光强"，该锥内的真实平均光强其实只有 13 862 cd。用 Φ/Ω 反推照度会系统性高估。

4点光源照度：平方反比 + 余弦定律

灯具到被照面上某点的斜距为 d，光线与被照面法线夹角为 γ：

E = I(γ) · cos γ / d² （点光源照度公式）

被照面水平、灯具垂直向下、到面距离 h，面上某点距光轴落点水平距离 r，则 d = √(h² + r²)、cos γ = h/d。代入 cosⁿ 配光：

E(r) = I₀ · hⁿ⁺¹ / (h² + r²)^(n+3)/2

r = 0（正下方）⟹ E_max = I₀ / h²

E(r) 关于 r 严格单调递减（分母指数 3 > 0），所以被照面上离光轴最远的点就是 E_min：圆形取边缘 r = R；矩形取角点 r = √((L/2)² + (W/2)²)。
注意：E = I/d² 是错的（除非被照面处处垂直于光线）。它是严格式的 1/cos γ 倍，恒 ≥ 1，即必然高估；γ 越大偏差越快发散（γ = 60° 时已高估一倍）。本工具在剖面表里单列了这一列供对照。

5面域平均照度——不是取样平均

E_avg 的正确定义是该面域接收到的总光通量除以面积，而不是取几个点算术平均（那样会严重偏大）：

E_avg = Φ_A / A

圆形面域（半径 R，中心在光轴正下方）：圆盘张开的半顶角 γ_R = arctan(R/h)，落在盘上的光通量等于该锥内的光通量：

Φ_A = 2π I₀ [1 − cosⁿ⁺¹γ_R] / (n + 1)
E_avg = Φ_A / (πR²)

矩形面域：无闭式解，本工具用 200×200 中点法数值积分 Φ_A = Σ E(x,y)·ΔA。

均匀度：U_max = E_min/E_max， U_avg = E_min/E_avg。国标道路/体育照明常用 U_avg 口径，需注明是哪一个。

6默认算例（可用于交叉验算）

输入：Φ = 9000 lm，光束角 2θ½ = 38°（即半角 θ½ = 19°，n = 12.3728），h = 3 m，被照面 = 圆盘 R = h·tan19° = 1.0330 m，Ω(19°) = 0.34232 sr

I₀ = Φ(n+1)/(2π) = 9000×13.3728/6.283185 = 19 155 cd
E_max = 19155 / 3² = 2 128 lx
E_min = 边缘 γ = 19°，I = 9578 cd，d = 3.1730 m
= 9578 × 0.94552 / 10.0677 = 899.5 lx
Φ_A = 2π×19155×[1 − cos^13.372819°]/13.3728 = 4 745 lm
（占 52.72%，即锥外还有 4 255 lm）
E_avg = 4745 / (π×1.0330²) = 1 415.5 lx
U(E_min/E_max) = 42.3% U(E_min/E_avg) = 63.5%
光通量利用率 = 4745 / 9000 = 52.7%

对照：若误用 I₀ = Φ/Ω = 26 291 cd，则 E_max 会算成 2 921 lx（高估 37.2%）

注意 E_min/E_max 只有 42%：尽管边缘点光强已降到峰值一半（照 50% 定标），再叠加 cos γ = 0.9455 的余弦衰减与更远的斜距，照度就掉到 42%。这解释了为什么窄光束投光灯要"多灯叠加"才能拿到好看的面域均匀度。

7模型边界（诚实声明）

点光源近似：要求受照距离 ≥ 5 倍发光面尺寸。近距离（＜1 m）大面阵灯具误差显著，应改用面光源或实测配光。
单一灯具：不叠加多灯，不含墙面/顶棚的相互反射。
无遮挡：不考虑灯具自身遮挡、灯罩、遮光罩、被照物阴影。
被照面水平且垂直于光轴：不支持倾斜灯具（下照角 ≠ 90°）或竖直墙面。
配光为解析近似：cosⁿ 单参数模型，不能复现真实配光的非对称性、旁瓣溢出光。
配光必须旋转对称：cosⁿ 模型绕光轴各向同性，因此只能处理圆形光斑。若灯具是矩形/方形配光（洗墙灯、方形泛光灯等），光斑在 (θ, φ) 平面上不是球冠， Φ = 2π∫I dγ 与 Ω = 2π(1−cosθ) 这两步都不成立，必须改用 Ω = ∬_区域 sinθ·dθ·dφ 在非圆形区域上积分，并同步改掉光通量积分。本工具不覆盖此情形。
不含维护系数：实际设计需再乘 LLD（光源光衰）× LDD（灯具积尘）× 其他损失系数，通常取 0.7~0.8。
不含法规判定：是否满足照度标准（如 GB 50034、CJJ 45）需另按标准核对，本工具只给计算值。

1阵列参数 mm

shape 肋条截面形状

pitch 齿距 mm

相邻两齿中心线的间距（周期）。齿底宽 2b 之外的 pitch − 2b 是齿间平台。

height 齿高 mm

齿顶相对齿根的高度 h（肋的起伏幅度）。

apex angle 顶角 °

齿顶处两条齿面之间的夹角 α，是全角（不是半角 α/2，也不是斜面与底面的夹角）。齿半底宽 b = h·tan(α/2)，齿底宽 2b。

base thickness 基底厚 mm

齿根以下的平板厚度 t。

radius 圆角 mm

齿顶与齿根过渡圆弧的半径 R——是长度（mm），不是角度、不是弧度。受齿边长度限制：沿一条齿边，相邻两圆角的切线长之和不得超过该边长，故 R 超过约 0.45×边长后不再生效。实际生效值见下方「圆角 R（实际生效）」。

teeth 齿数 N 个

板宽 W = N · pitch。

length 板长 mm · 拉伸向

沿齿长方向的拉伸长度 L。体积 = 截面积 × L。

2几何量

板宽 W = N·pitch

总高 H = t+h

半底宽 b = h·tan(α/2)

填充率 η = 2b/p

网格点

体积 mm³

网格离散度

圆角 R（实际生效）

3光学性能预估对比纯平板

导出 STEP 之前先做一次筛选性估算：几何光学光线追迹（斯涅尔 + 菲涅耳 + 全反射 + 腔体回收），与同总高 H 的理想纯平板对照。这是理想几何上限，不含材料吸收、粗糙面散射、膜层干涉与制造偏差，不能替代 LightTools / LiteTrace。

入射工况折射率 n 腔体回收率 ρ 视角半角 θv ° 均匀度门限 %

n：PMMA 1.49 / PC 1.586 / PS 1.59。 ρ 是退回腔体的光被重新利用的比例（含反射片损耗与从底面再进入时的菲涅耳损失）。「工况」选错结论会反号 —— 光学耦合下棱镜板能打破逃逸锥、大幅提高出光效率；空气耦合下平板本来就取出九成，棱镜的收益转为轴上准直而非总通量。

指标	纯平板	本设计
首遇逸出率 p₁	—	—
出光效率 η	—	—
视角均匀度 U	—	—
半高全角 FWHM	—	—

尚未计算

口径：出光效率 = 从顶面逸出的能量 / 介质内入射能量，含腔体回收；「首遇逸出率」只看第一次遇到顶面就出来的那一份，与循环次数无关，故不含任何数值取舍。「视角均匀度」= ±θv 锥内强度的立体角加权平均 / 峰值强度，看的是配光曲线平不平；面内照度均匀度取决于整个灯具（导光板、扩散板、灯距），本页给不出，必须另行仿真或实测。一维肋的「未逸出」里有一大块是物理限制：挤出几何的面外波矢分量守恒， |k_y| > 1 的光（各向同性注入时占 1 − 1/n）在任何斜面上都全反射、永远取不出来 —— 这正是背光行业要把两张 BEF 正交交叉使用的原因。

4导出

拖动旋转 · 滚轮缩放 · 右键平移

§生成脚本

build123d.py cadquery.py

脚本与 STEP 由同一套参数生成，可直接在 Python 环境（pip install build123d 或 pip install cadquery）中重跑以复现模型。

Optimal Design Method

最优设计方法：扩散板与棱镜板如何取得平衡

面板灯这类面光源要同时拿到高发光面均匀度 U与高出光效率 η，靠的是两块光学件的分工：扩散板把 LED 阵列的灯影「抹平」成均匀发光面， 棱镜板把漫射光「收拢」进观看锥、把出光效率提上去。两者不各自为战—— 雾度、混光距离、灯数、厚度预算牵一发动全身。本页给出一条可复核的闭环方法：给定目标与约束，自动扫出扩散板材料（透过率 / 雾度 / 板厚）与棱镜（形状 / 关键角度）的平衡最优组合，并把每一步的物理来路都摊开给你看。

§1设计流程（闭环，十步）

图中③~⑥是本页的前向模型：给定一组设计参数，算出 (U, η)。⑦~⑨是反问题：在参数空间里搜索满足目标的组合。二者分开写，模型改一处不会把搜索逻辑也带歪。

空间混光：灯影凭什么被抹掉

一颗 LED 是朗伯点源，在距离 OD 的扩散板平面上留下照度足迹 E(r) ∝ (1 + (r/OD)²)^−p。它的零阶汉克尔变换有闭式解，于是周期为 p_LED 的阵列，第 (m,n) 阶空间谐波会被压低到 M(2π·(OD/p_LED)·√(m²+n²))——这定量给出了那句经验法则「OD/p ≳ 0.8 灯影才消失」，而不是靠感觉。

关键推论：雾度抹不抹得掉，取决于结构尺度。板内横向散射展宽 σ_scat 只有 0.1~1.1 mm，所以雾化能轻易抹平 sub-mm~mm 级的网点与细缺陷（残余对比随雾度指数下降），却抹不平几十毫米级的灯影——后者只能靠 OD/p 或加密阵列。把「灯影」和「网点可见」当一回事，是这类设计最常见的误判。

侧墙回收：厚度是怎么吃掉效率的

混光距离越大越均匀，但光斑也越容易铺到边框之外。真实灯具边框内侧有反射片（白反射 ρ≈0.90~0.95，ESR 可达 0.98），这里用镜像源法计入：每条边把源镜像出去、按 ρ^反射次数衰减，矩形腔两轴镜像做笛卡尔积，角落反射自动带上 ρ^m+n。

落在开口内的光通占比就是采光利用率 φ_conf，它随 OD 增大而下降—— 这正是「均匀度」与「效率」之间那根真正拉扯的绳子：想均匀就得加厚，加厚就有一部分光被边框吃掉了。φ_conf 直接进效率表达式，不藏在经验系数里。

棱镜：只改角度，不改空间分布

出光效率写成 η = T_d · η_x,plate · φ_conf，其中 η_x,plate = 覆盖率·η_x + (1−覆盖率)·η_flat—— 平台占比就是漏光通道，直接进效率，而不是当作均匀度的经验惩罚。锥内再乘 C：把出射角分布 (1−H_d)·cos^m_sθ + H_d·cos^m_dθ 在 ±θ_v 上积分得到。

于是雾度的两副面孔就清楚了：它抬高 U（抹平细结构），又压低 C（散射份更难被棱镜收拢）。现代扩散板高雾不太掉透过率，所以真正的代价不在 T_d，而在准直被破坏这一头。

§2设计输入与约束

目标均匀度 U* % 75%

目标出光效率 η* % 42%

观看半锥 θ_v ° 35°

整机厚度预算 mm 30mm

U 评议口径

LED 一次配光

LED 阵列密度

扩散板厚度 mm

边框反射率 ρ_w 0.93

优化偏好

灯影必须不可辨（残余对比 ≤ 15%，即 U ≥ 85%）

§3材料：PC / PMMA / PS

设定目标与约束后点「求解最优组合」。

发光面亮度分布

伪彩 = 正面亮度（归一化到均值 1）。图上标出 LED 位置与取样点；虚线框为量测排除的 5% 压边区。基线取同厚度预算下的低配做法（6×6 阵列、H_d=0.35），用来说明「少花钱买来的就是这些灯影」。

中心剖面亮度

实线为推荐方案、虚线为基线。阴影带是 ±5% 目视可辨区间；落在带内的起伏人眼看不出来，超出即被判为灯影。

出射角分布与观看锥

红区是目标观看锥 ±θ_v；锥内占半球的比例就是 C。灰色虚线是无棱镜、同雾度扩散板的朗伯出射——两条线之间的面积差，就是棱镜板替你「收拢」回来的光。

(U, η) 权衡与 Pareto 前沿

每个点是过硬约束的一组候选（颜色区分棱镜形状），虚线框是目标区，折线是 Pareto 前沿，★ 是选出的最优组合。前沿上往右上方走，每一步都要拿厚度 / 灯数 / 成本去换。

约束校核

约束	实测 / 计算	限值	判定

三材料对照（同一目标、同一约束）

材料	η	U	推荐 H_d	棱镜	成本指数	一句话结论

敏感性与公差落点

扰动	来自	ΔU	Δη	处置

口径与诚实声明。 ① 空间混光与边框回收是半解析：足迹用闭式汉克尔变换、边框用镜像源法，与独立实现的直接二维求和交叉验证一致（偏差 < 0.01%）。 ② 棱镜的收敛半角 β 与萃取效率 η_x 是与「棱镜板设计」页蒙特卡洛在金字塔 α=45°、n=1.49 参考点校准的代理模型，其余形状 / 角度靠单调形状因子外推， 不做逐点验证；折射率 n 的影响取 ±2% 的一阶趋势，同样标注为弱趋势。 ③ η 定义为「进入扩散板的光通中最终从出光面射出的比例」，不含 LED 到扩散板的耦合损失，故绝对值偏保守，横向对比有效。 ④ 本页用于方案筛选与趋势判断；正式设计请用 LightTools / LiteTrace 加实测复核。

Prism Sheet Engineering · 光学设计与参数化建模

一维与二维棱镜板
参数化设计与导出

面向背光模组（BEF）与导光微结构设计：从光学原理到几何建模，覆盖棱柱阵列（一维）与金字塔阵列（二维），内置参数校验、三维预览与 STEP / build123d / CADQuery / STL 导出。

90°

BEF 经典顶角（BEF II / III 90-50） [2][3]

50μm

BEF II 90/50 标称齿距 [3]

20–50μm

微结构齿高常见范围 [2][5]

≈46%

全反射回收光线占比（三维追迹） [7]

口径与来源说明：规格数值取自公开论文与经销商页面，3M 官方一手数据表在本环境未能取得，故不作为权威值使用（详见「参考资料」页逐条核查标注）。
≈46% 的准确口径：三维严格追迹（周期表面蒙特卡洛，30 万条光线）在 90° 顶角、n≈1.49、无谷最密排、朗伯输入下，首次入射即发生全反射的光线占比 ≈46.3%；文献 [7] 原文的 46.3% 语境为两层正交棱镜膜背光方案的整体原理描述，并非单层专属值。本页下方「光线扇形图」是二维截面模型（面外分量为 0），其全反射占比只有约 0.5%，不能用它来读这个 46%。

准直原理演示 · 实时光线追迹α · n · 入射角

顶角 α 90° 折射率 n 1.49 入射角 θ_in 0°

折射出射（折向法线）全反射 / 回收超出材料内可达域（灰色）

θ_in 为材料内部角（相对板面法线 +z，图中朝上为出光侧），正值偏向右侧斜面；朗伯光从空气进入平板后内部角不可能超过 θ_c=arcsin(1/n)，超出部分画成灰色虚线。滑块为中心角，演示按中心角 ±24° 展开成扇形。

01Optical Principles

增亮与准直：光线如何被棱镜板“收拢”

背光模组中扩散片出射的是近似朗伯分布的漫射光。棱镜板用一排排微棱镜，通过折射把大角度光线折向法线方向（准直），通过全反射把无法出射的光线送回背光腔回收再利用——法线方向的亮度因此显著提升。

两类工作方式

折射型（棱向上）：光线自平面侧入射，在棱镜斜面发生折射后出射，出射方向被压向法线，形成“垂直增亮”。（本页工具按棱向上建模。）
棱向下布置：棱镜面朝向导光板时，斜面先对大角度光全反射改向再折回。注：这不是背光行业的公认分类术语，公开资料中也无统一判据；实际产品以棱向上为主，本页不做该形态的建模。
回收机制（light recycling）：超过临界角的光线在斜面全反射回背光腔，经底部反射片二次反射后重新入射，多次利用提高总效率。
双层正交：两片棱镜膜以 90° 交叉叠放，分别收拢 X / Y 两个方向的光，增益进一步叠加。

两个基本定律

斯涅尔定律（折射）

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂

θ₁ / θ₂ 为光线与界面法线的夹角；由光密介质进入光疏介质时，出射角增大。注：本页滑块/坐标轴中的 θ_in 指光线与板面法线 +z 的夹角，与界面法线夹角不同。

全反射临界角

θ_c = arcsin(n₂ / n₁) （n₂ < n₁）

入射角 > θ_c 时界面发生全反射。PMMA(n≈1.49)：θ_c≈42.2°；PC(n≈1.59)：θ_c≈39.1°。

单棱镜光线追迹

等腰三角形齿截面 · 光自下方背光腔射入 · θ_in 为材料内部角，相对板面法线 +z（图中朝上＝出光侧），正值为偏向右侧

顶角 α90°

折射率 n1.49

入射角 θ_in-20°

入射位置22%

光线扇形图：一束光经过棱镜后去哪了

每个方向入射一条光（材料内部角，物理可达范围 ±θ_c），追踪它经过棱镜后的真实去向 · 二维截面模型

青色＝向上折射出射、贡献正面增亮；琥珀色＝全反射后回到背光腔被回收（由底部反射片再次利用）；红色＝向下掠射出射（损失）——它确实折射出了界面，但方向朝下，属于损失而非回收；高亮白线＝左侧滑块当前角度。
重要口径：本图是二维截面模型（强迫面外分量为 0）。二维下“首遇斜面即全反射”只取决于内部角 |θ| ≤ 45° − θ_c ≈ 2.85°（n=1.49），因此该通道按通量权重仅约 0.5%——远低于真实三维的 ≈46%。请不要用本图去读首屏的 46%。
角度轴只画到 ±θ_c：朗伯光从空气经平板折射进入材料后，内部角不可能超过临界角（θ_c=arcsin(1/n)），超出部分物理上不存在。可见中等角度的光被压向法线方向出射（收拢准直），这就是棱镜板增亮的原理。本图入射点固定取齿斜面中点的典型位置，不随左侧「入射位置」滑块变化。

临界角 θc

—

首界面入射角 φ（相对斜面法线）

—

首界面 n·sin φ

—

出射角 θ_out（相对板面法线）

—

全反射次数

—

路径结论

—

读数口径：φ 与 n·sinφ 取第一次命中斜面时的值（决定该光线是否发生全反射）；此前的版本取的是最后一次界面，会把“先全反射、后折射出射”的光线误读成亚临界的直接出射。

022D Microstructure Shapes

二维微结构不止金字塔：六种形状与工程取舍

「二维棱镜」的形状分两层意思：截面轮廓（决定角度变换）与平面图案（决定各向同性与填充率）。「棱镜板设计」页的下拉框可在这六种之间切换，光学性能预估内核同步支持。

二维棱镜结构形状对照

截面轮廓示意 · 倾角 α 统一指底面边缘切线与水平面的夹角

形状	截面 / 图案	出光增益	均匀度 / 各向同性	制造
四棱锥（默认）	四斜面，正方形底	高	一般：两轴正交，四角处有差异	模具易做，尖顶易磨损
台锥（截头）	同上但平顶	略低（平顶走平板直通）	与四棱锥相近	最好：脱模容易、尖顶不崩
圆锥	回转对称	高	最好：单张片两轴同时准直	车削 / 浇注，尖顶脆弱
球冠 / 微透镜阵列	圆弧面	低：几乎不折射改向	最好：本质是扩散器	成熟（MLA 复制工艺）
抛物面帽	侧壁斜率渐变的帽	高	好	侧壁可强制 TIR，模具难
六棱锥 / 蜂窝	六斜面，密排	高	好	填充率高、无正交条纹，模具贵

还有三类「不是换形状」的方案

正交双 V 槽：两张一维挤出片互成 90° 叠放——现实中最主流。它正好解决一维挤出「面外波矢守恒导致约 1−1/n 的光取不出来」的问题（见上方扇形图口径说明）。不是新形状，是两个一维的组合。
蛾眼 / 亚波长结构：周期小于波长，靠渐变等效折射率抗反射，不能用几何光学描述——本站的光线追迹内核不适用。
随机纹理（喷砂、蚀刻、随机微透镜）：只扩散、不改变角分布趋势，便宜、均匀性好、增益低。

决定性能的其实不是形状名字

是四个量：侧壁斜率分布（决定角度变换）、填充率（平顶 / 齿根占比就是漏光通道）、对称性（决定配光是否各向同性）、尖顶锐度（决定能否脱模与尖端 TIR 行为）。同一族形状里改角度，效果差异可能比换形状更大。

到「棱镜板设计」页切换形状试试：切到台锥会多出顶面占比 k 输入，切到曲面形状会显示导出件的网格离散度；「性能预估」卡片对六种形状走同一套蒙特卡洛内核（曲面按连续面型追迹）。

材料	折射率 n	临界角 θc	特点	典型用途
PMMA	≈1.491	42.1°	高透过、耐候好、成本低	UV 固化棱镜层、导光板
PC	≈1.586	39.1°	耐热、机械强度高、双折射略大	车载/耐温背光膜
PS	≈1.590	39.0°	低吸水、易脆	一般光学膜层
PET 基材	1.57–1.65	39.6°–37.3°	尺寸稳定、耐弯折；折射率随取向度变化	棱镜膜/扩散膜基材

项目	典型值	范围	说明 / 核查结论	来源
顶角 α	90°	—	[2] 原文 “tip angle of 90˚”。原列的 [1] 在本环境无法读取、[6] 通篇未提顶角，已撤下；「80°–110°」无来源，同样撤下。	[2][3]
齿距 p	50 μm	—	“90/50”是 3M BEF II 的标准版本名（3M 文档 [9]：available in the standard 90/50 version, and a 90/24 version），其中 50 指节距 50 μm。原列「20–100 μm」在可核查来源中找不到依据，已撤下。	[3][9]
微结构层高	≈23 μm	20–50 μm	[2] 实测 BEF II 90/50 结构高 23 μm；而 h = p/2 = 25 μm 是“90° 顶角 + 无谷最密排”的理论关系。这是两件事，原表把 23 与 25 混写成一个区间，已分开陈述。	[2][5]
单层增益	+57–60%	—	经销商页面标称值：[3] 该 SKU 59%，[4] 正文「高达 60%」而同页规格表写 57%。3M 一手数据表未取得，原表「50–60%」的 [1] 不可核实，已按可读到的实际数值改写。	[3][4]
总膜厚	约 0.06–0.22 mm	—	第三方来源给出的棱镜膜总厚度跨度：薄型 TBEF 约 60–65 μm，常规含 PET 基材约 100–220 μm。原列「0.21 mm / 0.115–0.275 mm」出自 RINA TECH 自有产品线（该页通篇不提 3M），不是 BEF 的膜厚数据；3M 官方文档只给相对厚度（TBEF < ½ BEF III），未给绝对值。	[5][8]
出射视锥	≤35°	—	[6] 原文为 “fino a 35 gradi”（至多 35° 的视锥），未写 “±”、也未定义为半角。原表的「±35°」是本页此前的推演，已按原文口径改为 ≤35°。	[6]